4 Fragen zu Rationale Funktion

Um den maximalen Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 4}{x^4 - 5x^2 + 4} \) zu bestimmen, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden, da die Funktion nur dort definiert ist, wo der Nenner nicht null ist. 1. **Bestimmung der Nullstellen des Nenners:** Der Nenner ist \( x^4 - 5x^2 + 4 \). Um die Nullstellen zu finden, setzen wir den Nenner gleich null: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \] Wir setzen \( y = x^2 \), dann wird die Gleichung zu: \[ y^2 - 5y + 4 = 0 \] Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich die Lösungen: \[ y_1 = 4 \quad \text{und} \quad y_2 = 1 \] Da \( y = x^2 \), erhalten wir: \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 \] \[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \] Somit sind die Nullstellen des Nenners \( x = -2, -1, 1, 2 \). 2. **Maximaler Definitionsbereich:** Der maximale Definitionsbereich der Funktion ist also: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] 3. **Untersuchung der Definitionslücken auf Hebbarkeit:** Eine Definitionslücke ist hebbar, wenn der Zähler an dieser Stelle ebenfalls null ist. Wir prüfen die Nullstellen des Zählers \( x^2 - 5x + 4 \): \[ x^2 - 5x + 4 = 0 \] Diese Gleichung hat die Lösungen: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \] Daraus ergeben sich: \[ x_1 = 4 \quad \text{und} \quad x_2 = 1 \] Da \( x = 1 \) eine Nullstelle des Zählers ist und auch eine Nullstelle des Nenners, ist die Lücke bei \( x = 1 \) hebbar. Für \( x = -2 \) und \( x = -1 \) sowie \( x = 2 \) ist der Zähler nicht null, daher sind diese Lücken nicht hebbar. Zusammenfassend ist der maximale Definitionsbereich: \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 1, 2\} \] Die Lücke bei \( x = 1 \) ist hebbar, während die Lücken bei \( x = -2, -1, 2 \) nicht hebbar sind.

Eine ganzrationale Funktion \( f(x) \) vom Grad \( n \) hat höchstens \( n-1 \) Extremstellen, da die Ableitung \( f'(x) \) eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n-1 \) ist. Diese \( n-1 \) Extremstellen teilen die Funktion in höchstens \( n \) Intervalle, in denen die Funktion monoton ist. Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades (\( n = 3 \)) ist die Ableitung eine quadratische Funktion zweiten Grades (\( n-1 = 2 \)), die höchstens zwei Nullstellen haben kann. Diese zwei Nullstellen teilen die Funktion in höchstens drei Intervalle, in denen die Funktion monoton ist. Daher besitzt eine ganzrationale Funktion dritten Grades höchstens drei Monotonieintervalle.

Um die Produktfunktion \( f \times g \) der beiden gegebenen Funktionen \( f(x) = x^2 + 3x - 4 \) und \( g(x) = 3x^3 + 4x \) zu berechnen, multipliziere die beiden Funktionen miteinander: \[ (f \times g)(x) = f(x) \cdot g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] Nun multipliziere die Terme aus: \[ (f \times g)(x) = (x^2 + 3x - 4) \cdot (3x^3 + 4x) \] \[ = x^2 \cdot (3x^3 + 4x) + 3x \cdot (3x^3 + 4x) - 4 \cdot (3x^3 + 4x) \] Multipliziere jeden Term einzeln aus: \[ = x^2 \cdot 3x^3 + x^2 \cdot 4x + 3x \cdot 3x^3 + 3x \cdot 4x - 4 \cdot 3x^3 - 4 \cdot 4x \] \[ = 3x^5 + 4x^3 + 9x^4 + 12x^2 - 12x^3 - 16x \] Fasse die Terme zusammen: \[ = 3x^5 + 9x^4 + (4x^3 - 12x^3) + 12x^2 - 16x \] \[ = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \] Die Produktfunktion \( f \times g \) ist also: \[ (f \times g)(x) = 3x^5 + 9x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 16x \]

Um die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) zu berechnen, addierst du die beiden gegebenen Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \). Die Funktionen sind: \[ f(x) = x^2 + 3x - 4 \] \[ g(x) = 3x^3 + 4x \] Die Summenfunktion \( (f+g)(x) \) ist: \[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \] Setze die Ausdrücke für \( f(x) \) und \( g(x) \) ein: \[ (f+g)(x) = (x^2 + 3x - 4) + (3x^3 + 4x) \] Nun addiere die Terme: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 3x + 4x - 4 \] Fasse die Terme zusammen: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \] Die Summenfunktion ist also: \[ (f+g)(x) = 3x^3 + x^2 + 7x - 4 \]